[leetcode 907][Java]子数组的最小值之和

inkOrCloud2025-10-182025-10-18

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leetcode - 907

前置概念

单调栈

栈中元素始终保持某种单调性，即从栈底到栈顶使用递增/递减,比如:

将[1, 4, 3, 9, 5]压入单调递增栈

压入1，stack:[1]
压入4, stack:[4, 1]
若直接压入3则无法保持单调性，此时需要不断弹出栈顶直到能够保持单调性，这里应该弹出4，压入3，stack:[3, 1]
压入9，stack:[9, 3, 1]
同样，若直接压入5则无法保持单调性，需要弹出9再压入，stack:[5, 3, 1]

通过压入单调栈的过程就可以得知数组中的元素A前/后第一个大于/小于A的元素，例如上述示例中，在弹出4时就可以知道元素4往后第一个小于4元素时3，在弹出9时就可以知道第一个小于9的是5

题目解析

需要计算每个子数组最小值的和，那么就可以从获取每个元素作为最小值所在的子数组，再将所有子数组的数量乘对应最小值相加即可得到答案

辐射范围

定义

这里临时定义一个辐射范围，即元素X辐射范围内所有含X的子数组最小值都是X

确定辐射范围

显然要满足辐射范围的唯一条件就是该范围内没有比X更小的元素，这时候就可以用上面说到的单调增栈获取每个元素前/后第一个小于该元素的元素位置，进而在O(n)时间复杂度内确定辐射范围:

int[] dp1 = new int[len]; //dp1[i]为arr[i]的辐射范围的右边界(为了后续方便计算暂时设为开区间)
int[] dp2 = new int[len]; //同理表示左边界(开区间)
for(int i = 0; i < len; i++) {
    //预处理，假设每个元素的左右都没有小于自身的元素
    dp1[i] = len;
    dp2[i] = -1;
}
//正序遍历确定每个元素往后第一个小于该元素的元素位置
Stack<int[]> s1 = new Stack<>(); //数组结构为[元素下标，元素值]
for(int i = 0; i < len; i++) {
    //弹出每个大于arr[i]的栈顶并计入栈顶值的边界
    while(!s1.empty() && s1.peek()[1] > arr[i]) {
        int[] cur = s1.pop();
        dp1[cur[0]] = i;
    }
    s1.push(new int[] {i, arr[i]});
}
//倒序
Stack<int[]> s2 = new Stack<>();
for(int i = len-1; i >= 0; i--) {
    //正序或倒序必须有一个是严格递增，后面解释
    while(!s2.empty() && s2.peek()[1] >= arr[i]) {
        int[] cur = s2.pop();
        dp2[cur[0]] = i;
    }
    s2.push(new int[] {i, arr[i]});
}

通过上面的操作就得知了每个元素的辐射范围（开区间），例如[1,4,3,9,5]中

1的辐射范围是(-1, 5)
4为(0, 2)
3为(0, 5)
9为(2, 4)
5为(2, 5)

计算子数组数量

得知了每个元素的辐射范围，就可以在O(n)时间复杂度内计算出每个元素作为最小值所在子数组的数量，这里分别设辐射范围的左右边界为l/r，将l/r向该元素X靠拢，每个不同的l/r组合即代表一种最小值为X的子数组，那么子数组的数量就是(ind(x)-l)*(r-ind(x))。

例如4的左右边界分别为[0,2]，元素4的下标为1，那么所有以4为最小值的子数组数量就是(1-0)*(2-1)=2

计算结果

得知了每个元素对应的子数组数量，就可以得出结果:

1对应的子数组数量为(0 + 1) * (5 - 0) = 5
4为(1-0)*(2-1)=1
3为(2-0)*(5-2)=6
9为(3-2)*(4-3)=1
5为(4-2)*(5-4)=2
结果为5*1 + 1*4 + 6*3 + 1*9 + 2*5 = 46

为什么极端辐射范围时正序或倒序必须有一个需要严格递增

设数组为[1, 2, 3, 1]，若正序和倒序都不是严格递增那么两个1的辐射范围都是[0, 3] (闭区间)。

那么子数组[1, 2, 3, 1]对于两个1来说都在辐射范围内，那么就会对这个子数组进行重复计算，为了避免这种情况就要对左或右边界设为严格递增，即遇到相等的值就算作辐射范围的边界，此时左边的1的辐射范围就是[0, 2]，而右边的1的辐射范围依然是[0, 3]

整体代码

public class Solution {
	public static void main(String[] args) {
		Solution s = new Solution();
		System.out.print(s.sumSubarrayMins(new int[] {1, 4, 3, 9, 5}));
	}
	static long MOD = (long)(1e9+7);
    public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
    	int len = arr.length;
    	long ret = 0;
    	int[] dp1 = new int[len];
    	int[] dp2 = new int[len];
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		dp1[i] = len;
    		dp2[i] = -1;
    	}
    	Stack<int[]> s1 = new Stack<>();
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		while(!s1.empty() && s1.peek()[1] > arr[i]) {
    			int[] cur = s1.pop();
    			dp1[cur[0]] = i;
    		}
    		s1.push(new int[] {i, arr[i]});
    	}
    	Stack<int[]> s2 = new Stack<>();
    	for(int i = len-1; i >= 0; i--) {
    		while(!s2.empty() && s2.peek()[1] >= arr[i]) {
    			int[] cur = s2.pop();
    			dp2[cur[0]] = i;
    		}
    		s2.push(new int[] {i, arr[i]});
    	}
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		long l = dp1[i], r = dp2[i];
    		long sum = ((i-l)*(r-i)*arr[i])%MOD;
    		ret = (sum + ret)%MOD;
    	}
    	return (int)ret;
    }
}